Kompleksaj nombroj

Kompleksa nombro estas tia nombro, kia enhavas la nombron i. Tiu nombro i estas la imaginara unuo. i havas la propraĵon, ke i × i = -1. La nomo de tiaj nombroj, imaginaraj nombroj, ŝajnigas ilin kiel ne-realajn aŭ strangajn. Tamen, tio ne estas la kazo.

Hodiaŭ, mi volas klarigi tion pri kompleksaj nombroj. Ili ne estas vere malsimplaj. Fakte, ili estas same simplaj kiel la tiaj nombroj, kiujn vi lernis en la baza lernejo.

En matematiko estas pluraj sistemoj. Kompleksaj nombroj troviĝas en algebro. En bazaj lernejoj, infanoj lernas aritmetikon, kiu temas pri kutimaj nombroj kaj kutimaj operacioj. Ekzemple, 4 + 6 = 10, 5 – 3 = 2, 3 × 3 = 9, 8 ÷ 2 = 4, ktp. Tiu sistemo estas unu el la plej simplaj en matematiko kaj homoj ĉiutage uzas tiajn operaciojn. Por vivi komforte en la moderna mondo, ĉiuj devas kompreni la plej bazajn partojn de aritmetiko. Tial, la esprimon “du plus du egalas al kvar” oni uzas kiel ekzemplo pri simpleco.

Jen ekzemplo pri aritmetiko en la vivo: Mi volas kuri 30 minutojn aŭskultante muzikon en listo, kaj kutima kanto daŭras meznombre 4 minutojn, kiom da kantoj postulos la listo? Aritmetike, tio estas 30 dividite per 4. Tio egalas al 7,5, do mia listo postulos almenaŭ 8 kantojn.

Tio estas simpla, sed rimarku ion en tiu esprimo. La rezulto egalis al 7,5. Verŝajne, vi ne havas problemon pri tiu rezulto, sed kiel oni akiras la 0,5 post la 7? En lernejo, instruisto ofte instruas dividon per ripeta subtraho. Se oni subtrahas sepfoje 4 de 30, post tio restas 2. Tiu 2 estas la resto de la divido. Oni eble skribus, ke 30 ÷ 4 = 7 R 2. Tie “R” signifas “kun RESTO de.”

Oni lernas, ke la resto rilatas al la dividanto. Oni povas ŝanĝi la reston en frakcion. Tiukaze, la resto estas 24. Tio simpliĝas en 12, kiu egalas al 0,5. Post la baza lernejo, oni uzas frakciojn kaj decimalojn anstataŭ restojn. Tamen, oni unue lernas restojn ĉar restoj estas pli simplaj. Hodiaŭ, mi memorigas vin pri tiuj simplaj restoj kaj mi volas uzi la reston kiel analogecon pri kompleksaj nombroj por montri, ke la koncepto pri la imaginara nombro estas same simpla.

Se oni uzas reston anstataŭ decimalon, la rezulto de la divido 30 ÷ 4 enhavas kombinaĵon el du nombroj, 7 kaj 2. Tiuj du nombroj estas apartaj. Oni ne rajtas adicii 7 kaj 2, ĉar 2 estas resto, ne kutima nombro. Tamen, se oni dividas ion alian per 4, tiu alia resto estas adiciebla al la 2.

Post mia kurado, mi estos malsata, do mi kuiros ion. La kuirado postulos 25 minutojn. Kiom da aliaj kantoj devos mi aldoni al la listo? 25 ÷ 4 = 6 R 1. Mi povas aldoni tiun rezulton al la lasta. Mi adicias la kutimajn nombrojn 7 kaj 6. Aparte, mi adicias la restajn nombrojn 2 kaj 1.

Do, 7 R 2 + 6 R 1= 13 R 3. (Per frakcioj, 7 24 + 6 14 = 13 34.)

Denove, 13 kaj 3 estas apartaj. 3 estas nombro kun malsamaj reguloj. Tiu 3 ne estas 3, sed vere 34. Tamen, kiam oni havas alian reston el la sama dividanto, oni povas adicii la nombrojn kiel kutime. (Rimarku, ke nur kiam la alia divido enhavas la saman dividanton, tiam oni rajtas adicii la restojn. Alie, la restoj estas ankaŭ apartaj.)

Post la kuirado, mi manĝos la manĝon. Ĉar mi estos tiom malsata, mi manĝos ĝin tre rapide. Tio postulos nur 5 minutojn. Se mi aŭskultos muzikon ankaŭ tiam, kiom da aliaj kantoj mi aldonos? 5 ÷ 4 = 1 R 1. Mi aldonas la rezulton al la lastaj. 1 R 1 + 13 R 3 = 14 R 4.

Tamen, tiu resto estas speciala. Ĉar la resto egalas al la dividanto, oni rajtas ŝanĝi ĝin en kutiman nombron. Ĉar 44 = 1, 14 R 4 = 15. La rezulto, post ĉio, estas 15. Mia listo postulos precize 15 kantojn.

Kiel tio similas al kompleksaj nombroj?

Kompleksa nombro enhavas du partojn. La reela parto de kutima nombro kaj la imaginara parto kun i. La formo de kompleksa nombro estas z = a + bi. Ekzemple, mi havas la nombron 7 + 2i. Se mi havas alian nombron, 6 + 1i, mi povas adicii la du. 7 + 2i plus 6 + 1i egalas al 13 + 3i.

La adicio estas tute sama kiel kun restoj!

Ankaŭ kiel resto, la dua parto enhavas regulon pri kiel ĝi ŝanĝiĝas en kutiman nombron. Tiukaze, la regulo estas, ke i × i = -1. Do, se mi havas denove du nombron, 6 + 5i kaj 3 + 4i, kaj mi multiplikas la du, la imaginara parto iom ŝanĝiĝos en reelan.

Nu, mi konsentas, ke tiu multipliko estas iom malsimpla, sed rimarku, ke la malsimpleco troviĝas en la multipliko mem, ne en la kompleksaj nombroj! Se oni volas multipliki 6 R 5 kaj 3 R 4 (kun dividantoj de 7, ekzemple) tio estas same malsimpla.

La rezulto troviĝas tiel: (6 + 5i) × (3 + 4i) = 6 × 3 + 6 × 4i + 3 × 5i + 5i × 4i = 18 + 24i + 15i + -20 = -2 + 39i

Pri 6 R 5 × 3 R 4 kun dividanto 7, oni devas ŝanĝi la restojn en kutimajn nombrojn per simpligo. Do la rezulto troviĝas tiel: 6 R 5 × 3 R 4 = (6 R 5 × 77) × (3 R 4 × 77) = 477 × 257 = 117549 = 23 R 48 kun dividanto 49.

Kompleksa nombro ne nomiĝas tiel ĉar ĝi estas pli malsimpla ol aliaj nombroj laŭ komprenebleco. Ĝi nomiĝas tiel laŭ la unua difino de kompleksa: “Enhavanta en si plurajn malsamajn elementojn.” Ĝi estas simple kombinaĵo. La imaginara parto de ĝi ne estas imagaĵo sed nombro kun malsamaj reguloj ol kutima reela nombro, kiel resto.

Se kiel infano, vi komprenis la reston en divido, vi povas kompreni la imaginaran parton en kompleksa nombro.

Tie ĉiudirekten estas suden

Hieraŭ mi ĉeestis renkontiĝon kaj mi menciis al iu fakton, kiun li ne sciis. La fakto estas, ke ĉe la norda poluso, ĉiudirekten estas suden.

Ĉe la norda poluso, nenie estas pli norden. Tie, oni rigardas suden. Se oni turnas sin 180 gradojn, oni ankoraŭ rigardas suden. Dekstren estas suden. Maldekstren estas suden. Iu ajn paŝo estas paŝo suden kaj oriento kaj okcidento ne plu ekzistas. Neniu direkto estas orienta aŭ okcidenta kiam oni staras ĉe la norda poluso.

Oni ofte nomas la kompasdirektojn absolutaj. Tio estas kutime la kazo, ĉar neniuj homoj loĝas ĉe la norda poluso, sed la norda kaj suda polusoj estas esceptoj pri tio. Tie, oni ne povas absolute direkti iun per kompasdirektoj. Nur la relativaj direktoj, kiel dekstren kaj antaŭen, havas sencon.

Tio estas io amuza kaj mi ĝuis klarigi tion al iu, kiu ne jam sciis ĝin. Sed mi poste rimarkis ion pri tio rilate al Esperanto.

En Esperanto, oni kutime uzas la prefikson “mal-” por eviti ne-necesajn vortojn. Oni diras “malbela” anstataŭ “hida” kaj “mallonga” anstataŭ “kurta.” Eĉ la relativaj direktoj uzas tion. Oni diras “dekstren” kaj “maldekstren,” “antaŭen” kaj “malantaŭen.” Tamen, la kompasdirektoj ne uzas tiun prefikson. Oni ne nomas sudon “malnordo” aŭ male, nordon “malsudo.” La prefikso “mal-” estas tiom ofta, ke tiu fakto kaŭzis malordon en la menso kiam mi lernis Esperanton.

Sed estas diferenco inter la relativaj kaj kompasaj direktoj, ĉar ne estas relativaj polusoj.

Paŝo antaŭen estas ĉiam male al paŝo malantaŭen. Paŝo antaŭen neniam fariĝas paŝo malantaŭen. Tio havas sencon. Sed tio ne estas la kazo pri paŝo norden pro la poluso.

Paŝo norden estas nur preskaŭ ĉiam male al paŝo malnorden. Sed paŝo norden fariĝas paŝo suden kiam oni atingas la poluson. Iu, marŝante sufiĉe norden en rekta linio, subite marŝas suden ĉe la poluso sen ŝanĝo pri la direkto.

Tiel, norden kaj suden ne vere estas maloj.

Pi-tago

Hodiaŭ estas la 14a de marto. En Usono, oni skribas la daton kiel 3-14, kio similas al ofta mallongigo de la nombro pi, skribata per la greka litero π, 3,14. Pro tio, hodiaŭ estas la pi-tago! Tial mi volas doni al vi mallongan historion pri pi.

Pi estas grava nombro en la historio de matematiko. Ĝi estas konstanto por trovi la periferion de cirklo. Pro tio, ĝi havas sian nomon el la greka vorto pro periferio, περιφέρεια. La formulo estas la diametro de la cirklo multiplikite per pi, kio estas proksimume 3,14159.

Malgraŭ la greka litero, antikvaj grekoj ne nomis ĝin. La antikvaj grekoj ja uzis ĝin kaj pensis pri la ideon, sed la nuna uzado de π por la konstanto ne devenas de antikva greko. La uzado de la greka litero devenas de kimra matematikisto William Jones en 1706.

Oni atribuas la precizigon de pi al Arkimedo. Pro tio, oni iam nomas ĝin la konstanto de Arkimedo. Arkimedo donis pli da precizo al pi, sed li ne povis tute difini ĝin. Neniu povas fari tion. Tio estas ĉar ne estas fino de la nombro pi.

La konstanto estas neracionala nombro. Tio signifas ke neniu povas esprimi ĝin per frakcio. La frakcio 22/7 estas vaste konata kaj ĝi estas bona proksimumo, sed la unuaj kvin nombroj post la komo en ĝi estas 3,14286. Tamen la uzado de proksimumoj ne estas problemo ĉar plej ofte oni ne devas havi grandan precizecon.

Kvankam gazetoj skribas pri ili, la modernaj provoj pri la trovado de la duiliaradatriiliona cifro de pi estas ĉefe amuzaĵoj kaj taksoj de komputiloj. Neniu bezonas tiom da precizo pri pi.

Sed mi ja ŝatas vidi ion pri matematiko en gazetoj.